Le Monde Merveilleux de l'AlgorithmiqueMD

Bienvenue dans le Monde Merveilleux de l'AlgorithmiqueMD. Ce cours se veut une introduction � l'algorithmique et � la programmatique, deux termes que nous d�finirons plus loin.

Vous �tes au bon endroit si vous n'avez pas, ou � peu pr�s pas, programm�, mais avez envie d'apprendre cette science (ou cet art, tout d�pendant du point de vue).

Vous �tes au mauvais endroit si vous avez d�j� un bagage en programmation ou en langage C++, ou encore si votre objectif est d'approfondir votre savoir en la mati�re plut�t que d'y �tre introduit.

Note: une partie de ce document provient des efforts de Vincent Echelard, professeur lui aussi au d�partement d'informatique du Coll�ge Lionel-Groulx. Si vous le voyez, remerciez-le et offrez-lui un caf�

La programmatique et la r�solution de probl�mes

En effet, si l'algorithmique est une science exacte, au m�me titre que les math�matiques ou la physique, la programmatique comporte de son c�t� une part d'investissement humain et d'esth�tique, tout en �tant une composante � part enti�re (et essentielle) de la programmation.

Les principaux �l�ments de la programmatique, et donc les �tapes fondamentales requises pour la r�daction d'un programme, sont:

Prenons, dans ce qui suit, les �l�ments dans l'ordre.

La raison d'�tre d'un algorithme

� la base de toute la programmatique se trouve l'algorithmique, la science propre � la conception et � l'analyses des algorithmes.

C'est pourquoi le probl�me lui-m�me fait partie int�grante de notre d�finition. Pas de probl�me, pas de plaisir pour nous.

Pour parvenir � produire un v�ritable algorithme, il faut d'abord proc�der � une analyse du probl�me, mais pas n'importe quelle analyse: une analyse structur�e.

Exemple: supposons que nous recherchons un algorithme qui nous permettra de nous faire cuire un oeuf.

Si notre analyse ressemble par exemple � ce qui suit:

Probl�me: se faire cuire un oeuf
Algorithme: «euh... bien, on fait cuire l'oeuf!»

nous ne serons pas vraiment plus avanc�s qu'avant m�me de se poser la question «comment r�soudre le probl�me?».

Analyse structur�e

Analyser un probl�me de fa�on structur�e peut �tre abord� de plusieurs mani�res. Dans ce cours, nous chercherons surtout � d�composer un probl�me en plus petits probl�mes, dans le but de le simplifier.

D�finition, d�composition et solution d'un probl�me

Lorsque l'on veut appliquer une solution informatique pour r�soudre un probl�me, il faut �viter de se pr�cipiter devant un �cran d'ordinateur.

Programmer sans r�fl�chir a priori ne cause que des probl�mes. On risque, en programmant sans analyse au pr�alable, d'aboutir � une solution incompl�te (dans la mesure o� on arrive effectivement � une solution).

En effet, le processus qui permet de r�soudre un probl�me en informatique comporte habituellement deux (2) phases principales:

Chacune de ces phases comporte un certain nombre d'op�rations qu'on peut regrouper en �tapes.

La phase de r�solution du probl�me peut �tre scind�e en trois (3) �tapes :
La phase de mise en oeuvre peut �tre scind�e en deux (2) �tapes :
Le sch�ma suivant d�note les relations entre ces diverses �tapes:

Il est � relever que le processus de d�veloppement est cyclique. Un sch�ma plus complet (le temps m'a manqu� cette fois-ci) en ferait �tat.

�nonc� du probl�me et donn�es

Nous l'avons soulign� auparavant: il n'y a pas de plaisir sans probl�me. C'est pourquoi il nous faut d'abord et avant tout deux choses:
Dans le cas d'un meuble � assembler, le probl�me serait de passer de l'�tat d�sassembl� d'un meuble � celui assembl�, et les donn�es seraient les objets � composer pour constituer le meuble lui-m�me. Les instructions... sont du ressort de l'algorithme

La phase de r�solution du probl�me

Une fois l'�tape de la compr�hension du probl�me r�solue (ce qui n'est pas toujours simple), il faut passer � l'�tape suivante qui consiste � examiner diff�rentes approches g�n�rales permettant de r�soudre le probl�me.

Une des m�thodes les plus employ�es en informatique (et qui sera, comme mentionn� pr�c�demment) est l'approche par sous-objectifs.

Cette m�thode consiste � fractionner un probl�me difficile en plusieurs petits probl�mes plus simples. On dit d'elle qu'elle est une «m�thode descendante» (top down method), du fait qu'elle part du probl�me g�n�ral pour en faire une d�composition.

Le terme algorithme est utilis� en l'honneur d'un math�maticien persan, Mohammed ibn Musa al-Khuwarizmi (825 A.D.), dont le 2�me livre nous a donn� le mot alg�bre (Al-jabr).

�tant donn� un probl�me sp�cifique, un algorithme est la s�quence compl�te et ordonn�e de toutes les op�rations (actions) � faire pour en obtenir la solution. Cette s�quence d'op�rations est dict�e par le probl�me � r�soudre et par la m�thode de r�solution choisie.

Exemples d'algorithmes:

En informatique, ce terme se r�f�re � une m�thode de r�solution de probl�mes, comme nous l'avons mentionn� pr�c�demment. Nous faisons usage d'un ordinateur pour implanter nos algorithmes dans le but d'automatiser le processus de r�solution de probl�mes. L'id�e est donc, fondamentalement, de se simplifier la vie pour longtemps en se la compliquant une fois.

Un algorithme se compose d'une s�rie finie d'�tapes, chacune n�cessitant une ou plusieurs op�rations. Chaque op�ration doit:
Par exemple, l'ordinateur peut:

Les �tapes d'un algorithme

Un algorithme comprend g�n�ralement trois (3) �tapes:

Exemple: le calcul du volume d'une sph�re.

  1. Identifier le rayon;
  2. Formule pour le calcul du volume de la sph�re : 4/3 * PI * r3;
  3. Affichage de la valeur du volume

Repr�sentation de l'algorithme

Un algorithme peut �tre pr�sent� sous deux (2) formes:

D�finition des actions de base (op�rations, instructions)

Il existe trois grandes cat�gories d'op�rations :

D�finition des structures de contr�le (structures de base)

En programmation structur�e, pour construire des algorithmes, on se sert des trois structures de base suivantes:

La s�quence

La structure de contr�le qu'on nomme la s�quence se r�clame de ce qui suit: une suite d'op�rations cons�cutives et ordonn�es. Puisqu'on parle d'algorithmique, la s�quence aura un d�but, une fin, et aura un objectif pr�cis.

Formes de la s�quence

L'exemple suivant d�crit la structure de contr�le «s�quence» � la fois sous la forme de morphogramme et de pseudo-code.

Exemple de probl�me � r�soudre: se faire une tasse de th�.
Pseudo-code
Morphogramme

Faire bouillir de l'eau

Prendre une tasse

Y d�poser un sachet de th�

Y verser de l'eau bouillante

Presser le sachet et le retirer

Ajouter un peu d'eau froide

Remarques

Au sujet de la s�quence, remarquez les choses suivantes:
Types d'op�rations

Par exemple, pour faire bouillir de l'eau, on peut:

Mettre de l'eau dans la bouilloire;
Brancher la bouilloire;
attendre que l'eau bouille.



Exercices sur les s�quences

Exercice 1--Solution propos�e

Une personne utilise sa voiture pour se rendre au travail. �crire le pseudo-code et le morphogramme repr�sentant l'algorithme qui permet � cette personne de calculer et d'afficher son co�t de d�placement.

Pour cela votre algorithme devra pr�alablement lire les trois (3) renseignements suivants :
Exercice 2

Les ouvriers d'une entreprise ont re�u une augmentation de salaire de 4%. Cette augmentation est r�troactive de 6 mois.

�crire le pseudo-code et le morphogramme repr�sentant l'algorithme qui lit:
et affiche:
Exercice 3--Solution propos�e--Solution alternative (devinette: laquelle est la meilleure?)

�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant d'�changer le contenu de deux variables, X et Y.

Vous devrez donc:
Exercice 4

�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de calculer et d'afficher et d'afficher le salaire net d'un employ�.

Pour cela, il vous faudra lire les informations suivantes:
Il vous faudra tenir compte que l'employ� devra payer:
Exercice 5

Un chef d'entreprise veut conna�tre combien lui co�te la fabrication d'un exemplaire de son produit. �crire le pseudo-code et le morphogramme repr�sentant l'algorithme qui permet � d'ex�cuter ce calcul et d'afficher le r�sultat.

Pour cela votre algorithme devra pr�alablement lire les trois (3) renseignements suivants :
Exercice 6

�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant d'�changer le contenu de trois variables: X, Y et Z.

Vous devrez donc:
Exercice 7--Solution propos�e

�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de calculer et d'afficher le salaire net d'un employ� ainsi que le d�tail des d�ductions.

Pour cela, il vous faudra lire les informations suivantes:
Il vous faudra tenir compte que l'employ� devra payer:

L'alternative

La structure de contr�le qu'on nomme l'alternative se r�clame de ce qui suit:

Un exemple de pr�dicat serait «Jean est plus grand que Roger». En effet, cet �nonc� est soit vrai, soit faux, au moment o� il est formul�, et pour un Jean et un Roger bien pr�cis.

Un exemple de choix de s�quences �tant donn� la valeur d'un pr�dicat serait «s'il pleut dehors, alors rester � la maison et lire un livre, sinon aller au parc».

En effet, le pr�dicat «il pleut dehors» est �valu�, et dans le cas o� il est vrai (s'il pleut effectivement dehors) la s�quence «rester(maison); lire(livre)» sera suivie. Dans le cas o� le pr�dicat s'av�re faux (si le temps est ensoleill�), la s�quence «aller au parc» sera plut�t celle suivie dans le d�roulement du programme.
La forme g�n�rale de l'alternative pr�te aux �nonc�s suivant le mod�le «si (condition) alors (op�rations) sinon (op�rations)».

Formes de l'alternative

L'alternative peut se pr�senter sous deux formes:
Premi�re forme de l'alternative
Exemple de probl�me � r�soudre en premi�re forme d'alternative: la pause caf�.
Pseudo-code
Morphogramme
s'il y a du caf� frais, alors
   prendre un caf�
sinon
   faire du caf�

On remarquera (avec justesse) que ceci repr�sente une pause caf� bien incompl�te. Par exemple, s'il n'y a pas de caf� frais lors de l'�valuation de la condition, on fera du caf�, mais on ne le boira pas.

Nous reviendrons � une solution plus satisfaisante (dans tous les sens du mot) sous peu, qui impliquera de composer et d'imbriquer dans notre algorithme � la fois la s�quence et l'alternative.
Seconde forme de l'alternative
Exemple de probl�me � r�soudre en seconde forme d'alternative: le noctambule.
Pseudo-code
Morphogramme
si c'est la nuit, alors
   faire la f�te
Variante sur la seconde forme d'alternative

La seconde forme d'alternative peut aussi se pr�ter � une s�quence d'op�rations seulement dans le cas d'une �valuation du pr�dicat comme faux, avec un r�sultat �quivalent; par contre, on tend dans ce cas � perdre un peu en �l�gance.

Par exemple:
Pseudo-code
Morphogramme
si le plancher est propre, alors
sinon
   passer le balai

La m�me expression aurait pu s'�crire «si le plancher est sale, alors passer le balai» et �viter la suite «si le plancher est propre, alors (rien) sinon ...».

Le r�sultat aurait �t� le m�me, toutefois, en terme d'exactitude et de r�alisation de l'objectif fix�. Au sens algorithmique, les deux variantes pr�sent�es sont �quivalentes; mais au sens de la programmatique, nous privil�gierons la premi�re des deux.

Remarques

Imbrication des structures de contr�le: �tude de la pause caf�

Bien entendu, nombreux seront les algorithmes qui combineront plus d'une structure de contr�le dans la poursuite m�thodique d'un objectif. Le cas de la pause caf� se pr�te bien � un petit exercice d'analyse � ce sujet.
Nous avons:
Pseudo-code
Morphogramme
s'il y a du caf� frais, alors
   prendre un caf�
sinon
   faire du caf�

Pour s'assurer de jouir des fruits de nos efforts, cet algorithme n'est pas tout � fait suffisant: en effet, dans le cas o� nous devons faire nous-m�mes le caf�, l'algorithme n'indique pas que nous en boirons.

Ainsi, mieux vaut enrichir la s�quence rencontr�e dans le cas o� le pr�dicat «il y a du caf� frais» s'av�re faux, surtout si nous sommes de fervents amateurs du breuvage en question.

Par exemple:
Pseudo-code
Morphogramme
s'il y a du caf� frais, alors
   prendre un caf�
sinon
   faire du caf�
   prendre un caf�

Mais on se retrouve � ins�rer une forme de redondance dans notre algorithme: en effet, peu importe le chemin emprunt�, on finit dans chaque cas par «prendre un caf�», et ce en dernier lieu dans chaque cas.

On pourra tirer avantage de cette r�alisation pour simplifier notre algorithme:
Pseudo-code
Morphogramme
s'il n'y a pas de caf� frais, alors
   faire du caf�
prendre un caf�
La beaut� de tout ceci, c'est que la s�quence et l'alternative se joignent l'une � l'autre et se combinent tout naturellement. Nous tirerons d'ailleurs continuellement avantage de cette propri�t�.

Exercices sur l'alternative

Exercice 8--Solution propos�e
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de:
Exercice 9
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de:
Exercice 10
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de:
Exercice 11

Vous devez calculer et afficher la note finale d'un �tudiant, ainsi que la mention succ�s ou �chec. Cet �tudiant a pass� trois (3) examens et la note de passage est soixante (60).

La note finale est calcul�e comme �tant la moyenne des examens.

Cr�ez le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de r�soudre ce probl�me.
Exercice 12--Solution propos�e
Vous devez calculer et afficher la note finale d'un �tudiant, ainsi que la mention succ�s ou �chec. Cet �tudiant a pass� trois (3) examens ayant les pond�rations suivantes:
La note de passage est soixante (60%). La note finale est calcul�e comme �tant la moyenne des examens en tenant compte de la pond�ration de chaque examen. Cr�ez le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de r�soudre ce probl�me.
Exercice 13

Vous devez calculer et afficher la note finale d'un �tudiant, ainsi que la mention succ�s ou �chec. Cet �tudiant a pass� trois (3) examens et la note de passage est soixante (60).

La note finale est calcul�e comme �tant la moyenne des examens. Si l'�tudiant obtient une note finale se situant entre 55% et 60%, il a droit � un examen de reprise, et obtiendra la note de 60% dans la mesure o� il r�ussit ce dernier.

Cr�ez le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de r�soudre ce probl�me.
Exercice 14
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de lire deux (2) nombres et d'afficher le plus grand des deux. Il ne peut y avoir d'�galit� entre les nombres.
Exercice 15
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de lire deux (2) nombres et d'afficher le plus petit des deux. Pr�sumez que ces nombres ne sont pas �gaux entre eux.
Exercice 16
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de lire trois (3) nombres et d'afficher le plus grand des trois. Pr�sumez que ces nombres ne sont pas �gaux entre eux.
Exercice 17
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de lire trois (3) nombres et d'afficher le plus petit des trois. Pr�sumez que ces nombres ne sont pas �gaux entre eux.
Exercice 18
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de lire le rayon d'un cercle, ainsi que le choix de l'utilisateur et imprime:
Le choix de l'utilisateur peut �tre:
Tout autre choix doit g�n�rer un message d'erreur.
Exercice 19
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de lire la largeur et la longueur d'un rectangle, ainsi que le choix de l'utilisateur et affiche:
Le choix de l'utilisateur peut �tre:
Tout autre choix doit g�n�rer un message d'erreur.
Exercice 20
On donne � un vendeur le choix suivant:
  1. un salaire fixe de 300 $ par semaine;
  2. un salaire fixe de 140 $ par semaine plus 10% de commission sur les ventes;
  3. 15% de commission sur les ventes.
�crire le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de lire:
et d'afficher:

La r�p�titive

La structure de contr�le qu'on nomme la r�p�titive se r�clame de ce qui suit:
Le principe de revenir au point d'�valuation du pr�dicat jusqu'� ce que celui-ci devienne faux �voque l'image d'une boucle; on dira d'ailleurs souvent des r�p�titives qu'elles sont, simplement, des boucles.

La forme g�n�rale de la r�p�titive se pr�te aux �nonc�s suivant le mod�le «tant que (condition) faire (op�rations)».

Exemple: surveillance de la cr�me en cours de cuisson.
Pseudo-code
Morphogramme
tant que la cr�me ne bout pas
   brasser la cr�me
         

Le morphogramme d'une r�p�titive est int�ressant car il permet de bien saisir son aspect dynamique. La figure pr�c�dente permet de bien repr�senter le mouvement qui anime cette structure.

Le point d'entr�e est en haut. Tant que la condition � �valuer repr�sent�e par le losange reste vraie, il y a ex�cution de l'op�ration repr�sent�e par le rectangle. La ligne qui remonte � gauche indique qu'il faut retourner �valuer la condition.

Le terme boucle qu'on emploie dans le cas de r�p�titives d�signe surtout ce mouvement quasi circulaire.

Quand que la condition devient fausse, on quitte la r�p�titive en passant par la voie � droite du losange pour atteindre le point de sortie en bas (voir l'exemple de la pile d'examens � corriger, plus bas).

Dans notre exemple, le pr�dicat � satisfaire est «la cr�me ne bout pas». Tant que ce pr�dicat est vrai, l'algorithme indique que la s�quence d'op�rations � ex�cuter comprend une seule op�ration, soit «brasser la cr�me».

Bien entendu, s'il y a des s�quence d'op�rations simples comme «brasser la cr�me», il y en a aussi de plus longues et de plus complexes.

Prenons par exemple le cas d'un pauvre professeur face � une pile d'examens � corriger, o� chaque examen comporte quatre questions. Il est possible, si l'on sait combien d'examens se trouvent dans la pile, de r�diger un algorithme permettant la correction de chacun d'entre eux avec une s�quence. Toutefois, cette s�quence pourrait devenir arbitrairement longue en fonction du nombre d'examens dans la pile.

Toutefois, avec une r�p�titive, nous pouvons arriver � un algorithme relativement simple et �l�gant pour r�soudre ce probl�me:
Pseudo-code
Morphogramme
Tant qu'il reste au moins une copie
   prendre cette copie
   corriger la question 1
   corriger la question 2
   corriger la question 3
   corriger la question 4
   inscrire le total sur la 1i�re page
   ranger cette copie
Question pi�ge: si on voulait �crire l'algorithme pr�c�dent � l'aide d'une s�quence seulement, en sachant qu'il y a cinquante (50) examens dans la pile, combien notre s�quence comporterait-elle d'�tapes?

Remarques

On peut consid�rer les traits verticaux ajout�s au pseudo-code comme les marques des niveaux d'indentation.

Exercices sur la r�p�titive

Exercice 21
�crire le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme de compte � rebours qui aura pour objet d'�crire successivement les valeurs enti�res de 10 0 inclusivement.
Exercice 22--Solution propos�e
�crire le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet d'�crire successivement les nombres pairs de 2 50 inclusivement.
Exercice 23
�crire le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme de compte � rebours qui aura pour objet d'�crire successivement les valeurs enti�res de 20 10 inclusivement.
Exercice 24
�crire le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet d'�crire successivement les nombres impairs de 3 49 inclusivement.
Exercice 25
�crire le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet d'�tablir la somme des nombres impairs de 1 99 inclusivement et d'�crire cette somme.
Exercice 26
�crire le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet d'�tablir la somme des nombres impairs de 77 7 inclusivement et d'�crire cette somme.
Exercice 27
�crire le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet d'�tablir la somme des nombres pairs de 64 32 inclusivement et d'�crire cette somme.
Exercice 28
�crire le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet d'�tablir la somme des nombres pairs de 2 32 inclusivement et des nombres impairs de 33 65. Votre algorithme devra faire afficher cette somme.
Exercice 29--Solution propos�e

Vous devez calculer la moyenne des examens d'un groupe de dix-huit (18) �tudiants. Chaque �tudiant a pass� trois (3) examens.

Vous d�sirez obtenir la moyenne de chacun des �tudiants aux examens, ainsi qu'un commentaire qui variera selon la moyenne obtenue (voir tableau ci-dessous). Cr�ez le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de r�soudre ce probl�me.
Condition
Commentaire
0 <= Moyenne < 60 ( 0 � 59)
�chec
60 <= Moyenne < 70 (60 � 69)
Bien
70 <= Moyenne < 85 (70 � 84)
Tr�s Bien
85 <= Moyenne <= 100 (85 � 100)
Formidable
Exercice 30
Vous devez calculer la moyenne des examens d'un groupe d'�tudiants. Le nombre d'�tudiants dans le groupe peut varier selon la demande de l'utilisateur.
Chaque �tudiant a pass� trois (3) examens dont la pond�ration est la suivante:

Vous d�sirez obtenir la moyenne aux examens de chacun des �tudiants, ainsi qu'un commentaire qui variera selon la moyenne obtenue (voir tableau de la question pr�c�dente). Cr�ez le pseudo-code et le morphogramme de l'algorithme permettant de r�soudre ce probl�me.

La m�thode du d�veloppement graduel

La m�thode du d�veloppement graduel (ou d�veloppement progressif) permet de percevoir un probl�me complexe comme une probl�me plus simple mais compos� de sous probl�mes. L'id�e derri�re ce concept est de parvenir � r�soudre le probl�me malgr� son apparence abrupte.

Changer de lunettes

R�soudre un probl�me par voie de d�veloppement graduel ne signifie pas concr�tement de changer le probl�me rencontr� pour un autre, du moins pas en changeant sa nature. On a plut�t en t�te de changer le regard que l'on pose sur le probl�me.

Cela peut se faire de plusieurs mani�res. Les plus fr�quemment rencontr�es sont:
La m�thode du d�veloppement graduel s'inspire de chacune de ces m�thodes, en les int�grant dans un tout coh�rent:

Exercices de d�veloppement graduel

Pour r�soudre les exercices 31 35, inspirez-vous de cet exemple de la technique du d�veloppement graduel.

Exercice 31

�crire le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet de produire � l'�cran un rectangle de 10 lignes sur 8 colonnes identique � celui pr�sent� ci-dessous:

********
********
********
********
********
********
********
********
********
********

Exercice 32

�crire, en utilisant la technique du d�veloppement graduel, le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet de produire � l'�cran un triangle identique � celui pr�sent� ci-dessous:

*
**
***
****
*****
******
*******
********
*********
        



Exercice 33

�crire, en utilisant la technique du d�veloppement graduel, le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet de produire � l'�cran un triangle identique � celui pr�sent� ci-dessous:

**********
*********
********
*******
******
*****
****
***
**
*
          


Exercice 34

�crire, en utilisant la technique du d�veloppement graduel, le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet de produire � l'�cran un triangle identique � celui pr�sent� ci-dessous:

<****>
<<****>>
<<<****>>>
<<<<****>>>>
<<<<<****>>>>>
<<<<<<****>>>>>>
<<<<<<<****>>>>>>>
<<<<<<<<****>>>>>>>>
<<<<<<<<<****>>>>>>>>>
<<<<<<<<<<****>>>>>>>>>>

 

Exercice 35

�crire, en utilisant la technique du d�veloppement graduel, le pseudo-code et le morphogramme d'un algorithme qui aura pour objet de produire � l'�cran un triangle identique � celui pr�sent� ci-dessous:


         *
        ---
       *****
      -------
     *********
    -----------
   *************
  ---------------
 *****************
-------------------

 



[1] Nous reviendrons sur la notion de d�composition lors de l'�tude du d�veloppement graduel.
[2] ... ou vraie, c'est selon; les deux formes sont, en fait, �quivalentes entre elles.
[3] Incr�menter est un anglicisme pour «augmenter de 1». L'op�ration est tellement commune en informatique qu'on en est venu � utiliser un terme sp�cifique pour la d�noter.